Алексей Шишигин завершил обучение в Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства в 2008 году, где изучал кукольный театр под руководством И. К. Ласкари. С 2010 года он является частью труппы Большого театра кукол. Его дебютной работой в этом театре стала роль Куклы-ребёнка в спектакле «100 оттенков синего», поставленном Яной Туминой. В январе 2011 года Шишигин исполнил роль Винни-Пуха в постановке Руслана Кудашова «Прогулки с Винни-Пухом». Кроме работы в Большом театре кукол, Алексей также сотрудничает с театром-студией «КукАртель», где участвует в ряде спектаклей, среди которых «Наше вам с кисточкой», «Терешечка», «Вертеп», «Песни за колючей проволокой» и «...в чем-то белом без причуд...».