Айдар Заббаров родился 10 июля 1991 года в Набережных Челнах, Татарстан. В 2012 году он завершил обучение на актерском факультете Казанского театрального училища, где его курс вёл Ф. Р. Бикчантаев. В 2018 году Заббаров окончил режиссерский факультет ГИТИСа под руководством С. В. Женовача. С 2012 года до поступления в ГИТИС он работал артистом в Татарском государственном академическом театре имени Г. Камала в Казани. Заббаров также зарекомендовал себя как режиссер, поставив ряд спектаклей. Среди его работ — «Все плывут и плывут облака» (2017) и «И это жизнь?…» (2018) в Татарском театре, «Соловьёв и Ларионов» (2019) в Московском театре «Современник», а также «Белые ночи» по Достоевскому в МХТ имени Чехова (2019). В числе его других постановок — «Пять вечеров» (2019), «Я не вернусь» (2020), «Покаяние» (2021) и «Пепел» (2022) в Татарском театре, а также «Попрыгунья» по Чехову в Театре имени Вахтангова (2022). В 2022 году он стал лауреатом премии Президента Российской Федерации для молодых деятелей культуры за свой вклад в развитие театрального искусства в России.