Александр Крымов родился 21 апреля 1994 года в Якутске. В 2014 году он завершил обучение в Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства (курс А. Я. Алексахиной) и был принят в труппу театра. В его репертуаре значатся такие спектакли, как «Дон Кихот» (Тени), «Флейта-позвоночник», «ХАРМС» (Принц), «Венчание» (Владо), «Кабаре Брехт» (Актер театра ББ), «Комната Шекспира» (Лизандр), «Посох, палка и палач» (Лыжник), «Смерть коммивояжёра» (Хэппи), «Испанская баллада» (Родриго, Архиепископ), «Странники», «Русская матрица» (Добрыня, Волк), «Странствия Нильса» (Домашний гусь Мартин), «Утиная охота» (Кузаков), «Тартюф» (Клеант, Валер), «Сотворившая чудо» (Джеймс), «Беглец» (Дмитрий Оленин), «Мама» (Сын) и «Бродский. Изгнание». В 2017 году Крымов основал режиссерскую лабораторию в Театре имени Ленсовета, из которой возник спектакль «Посох, палка и палач» под руководством Ильи Мощицкого. С 2021 года он также преподает в Санкт-Петербургском государственном институте культуры и искусств на курсе народного артиста России А. Я. Алексахиной. В 2023 году вместе с выпускниками своего курса он создал независимое творческое объединение «Черный театр». Среди его режиссерских работ можно отметить «Синяя борода: Надежда женщин» (Черный театр, 2020), «Сураз» (Городской театр, 2022), «Я в костюме человека» (Черный театр, 2023), «Утиная охота» (Учебный театр СПбГИКИТ, 2024) и «Капитанская дочка» (Театр «Сцена Мельников», Москва, 2025). Кроме театра, Крымов также снимался в различных фильмах, включая «Синдром Петрушки», «Тайны следствия», «Чужой район», «Ищейка», «Горюнов», «Три мушкетера» и многие другие.