Анатолий Рычагов является одним из основателей Театра Дождей, где он работает с момента его открытия осенью 1989 года. За время своей карьеры артист сыграл множество значимых ролей в различных спектаклях. Среди его наиболее известных работ в Театре Дождей можно выделить Тевье в спектакле «Поминальная молитва», Свифта в «Доме, который построил Свифт», а также Сатина в «На дне». Также он исполнил роли Карри в «Продавце дождя», Исидора Саларидзе в «Белых флагах» и Богля в «О.Днажды». Рычагов имеет опыт работы и в других театрах, где сыграл такие роли, как Хуан в «Последней женщине сеньора Хуана», Индюка в «Диком», Клеона в «...Забыть Герострата!», Чебутыкина в «Трех сестрах», Тригорина и Шамраева в «Чайке», а также Разбойника в «Снежной королеве». Его творчество охватывает широкий спектр амплуа и жанров, что делает его заметной фигурой в театральной среде.