Андрей Гаврюшкин родился 9 декабря 1970 года в Орле. В 1997 году он завершил обучение в Магнитогорской консерватории, получив специальность актёра драматического театра и кино. После окончания учебы Гаврюшкин начал свою карьеру в Магнитогорском драматическом театре имени А.С. Пушкина, где работал на протяжении нескольких лет. С 1999 по 2005 год артист продолжал свою деятельность в Белом театре. В 2010 году он вновь продолжил образование, завершив актёрско-режиссерский курс в Санкт-Петербургской академии искусств под руководством Г. Козлова. В том же году Андрей Гаврюшкин был принят в труппу театра «Мастерская», где продолжает свою творческую карьеру.