Александр Иванович Кладько родился 25 февраля 1971 года в Одессе. В 1996 году завершил обучение на кафедре актерского мастерства Санкт-Петербургской академии театрального искусства. В 2001 году он с отличием окончил кафедру режиссуры той же академии, проходя курс под руководством Г. Козлова. В 2003 году Кладько защитил кандидатскую диссертацию на кафедре режиссуры. Александр Кладько работал в Молодежном театре на Фонтанке, а с 2015 по 2017 годы занимал должность главного режиссера Псковского академического театра драмы имени А.С. Пушкина. Кладько является членом Союза театральных деятелей Российской Федерации. Он также ведет преподавательскую деятельность: является старшим преподавателем Санкт-Петербургской академии театрального искусства по специальностям «Актерское искусство» и «Режиссура театра», а также старшим преподавателем Кабардино-Балкарского государственного университета на курсе Александра Сокурова, где обучает по специальности «Режиссура кино и телевидения».