Александр Кузьмин родился в Балаково, в Саратовской области. В 1999 году он завершил обучение на актерском факультете Саратовской консерватории имени Л.В. Собинова, где обучался под руководством Риммы Беляковой. После окончания учебы Кузьмин шесть лет работал в саратовском ТЮЗе, а затем присоединился к труппе Саратовского академического театра драмы имени И.А. Слонова. В 2012 году Александр привлек внимание директора театра «Табакерка» во время фестиваля памяти Олега Янковского, когда выступал в спектакле «Бешеные деньги». Вскоре его заметил и Олег Табаков. Летом 2013 года Кузьмин дебютировал на московской сцене, сыграв небольшую роль Энрика в спектакле «Школа жен», а осенью того же года исполнил роль сержанта Туми в восстановленном спектакле «Билокси-Блюз», поставленном Александром Мариным. В течение некоторого времени актер продолжал работать в Саратове, участвуя в спектаклях театра имени Слонова. Сотрудничество с Александром Мариным стало для Кузьмина важным этапом в карьере: он сыграл в таких спектаклях, как «Брак 2.0», «Три сестры», «Мадонна с цветком», «Сад любви» и «Буря. Вариации». С 2021 года актер исполняет роль Гаврилы в спектакле Владимира Машкова «Страсти по Бумбарашу».