Александр Сулимов родился 26 ноября 1952 года в поселке Чистое Чкаловского района Горьковской области. В 1977 году он окончил Горьковское театральное училище, где его наставником был В.М. Крипец. С 1981 по 1985 год Сулимов работал в Норильском драматическом театре. В этот период он исполнил роли Людовика XIV в пьесе «Кабала святош», Мизинчикова в «Село Степанчиково», Валера в «Тартюфе», Брэд Винера в «Дорогая Памела», Красноречивого в «Две стрелы», Кая в «Жестокие игры» и Пан Аполека в «Конармии». Затем, с 1986 по 1989 год, он продолжил карьеру в Петрозаводском Музыкально-драматическом театре, где сыграл Коровьева в «Мастере и Маргарите», Бена в «Смерть коммивояжера», Раздеваева в «С Новым Годом!», Учителя в «Визит старой дамы», Боккаччо в «Декамероне» и Виктора в «Я построил дом». С 1989 года Сулимов работает в театре имени Ленсовета. В его репертуаре множество спектаклей, среди которых «Снежная королева», «Земля обетованная», «Трубадур и его друзья», «Игроки», «Таланты и поклонники», «Левша», «Шум за сценой», «Король, дама, валет», «Дракон», «Чайка» и многие другие. Александр Сулимов также снимался в телефильмах, таких как «Фантазии Фарятьева», «Профессия Миссис Уоррен» и «Детектив по субботам», а также в телесериале «Средний класс». В 2007 году он был удостоен почётного звания «Заслуженный артист России».