Алексей Бычков является фотографом, оператором-постановщиком, видеохудожником и кинорежиссёром. Он получил образование на кинооператорском факультете ВГИКа, где учился под руководством известного мастера Вадима Юсова. В своей карьере Бычков работал на таких федеральных каналах, как «Россия-Культура», «Россия-1», «НТВ» и других. С 2014 года Алексей Бычков активно сотрудничает с Воронежским Камерным театром, где оформил более 40 театральных постановок. В своей работе он взаимодействовал с различными режиссёрами, среди которых Михаил Бычков, Георгий Цхвирава, Руслан Маликов, Дмитрий Егоров и Николай Русский, а также с хореографами Константином Матулевским, Павлом Глуховым и Константином Кейхелем. В 2018 году Бычков был номинирован на премию «Золотая Маска» в категории «Лучшая работа художника в музыкальном театре» за оформление оперы «Родина электричества» по произведению А. Платонова, представленной в Воронежском театре оперы и балета. Также он работал оператором-постановщиком над спектаклем «Бальзаминов» под руководством Михаила Бычкова и над спектаклем «Ребëнок» режиссёра Антона Фёдорова. Кроме того, его вклад в видеохудожество был отмечен в танцевальном спектакле «Плот Медузы» хореографа Павла Глухова, который также стал номинантом премии «Золотая Маска» в 2022 году.