Анджей Бубень родился в 1964 году в Мали, Африка. В 1988 году он завершил обучение в Варшавском университете по специальности «польская филология и история театральной культуры», а в 1993 году окончил Санкт-Петербургскую театральную академию, где учился на курсе Ю. М. Красовского. Его дипломной работой стал спектакль «Я – Фейербах» по пьесе Т. Дорста, поставленный в Театре им. В.Ф. Комиссаржевской в Санкт-Петербурге. Бубень работал в театрах Вроцлава, Щецина и Варшавы, а также в течение десяти лет занимал должность художественного директора театра им. Вильяма Хожицы в Торуни, Польша. Он также был одним из организаторов международного фестиваля «Контакт». Спектакли, созданные им в Польше и других европейских странах, часто становились участниками и обладателями наград на международных театральных фестивалях. Его работа над спектаклем «Облом off» по пьесе М. Угарова была отмечена Национальной театральной премией Венгрии как лучший спектакль года. В конце 1990-х годов Бубень поставил в Театре Сатиры на Васильевском в Санкт-Петербурге спектакли «Дон Жуан» Ж.-Б. Мольера и «Женитьба Фигаро» П.-О. Бомарше, которые получили положительные отзывы как от зрителей, так и от профессионалов. С 2007 по 2011 год он занимал пост главного режиссера этого театра. Спектакль «Русское варенье» по Л. Улицкой, поставленный в 2007 году, стал лауреатом премии «Золотой софит» и номинировался на «Золотую маску». В 2009 году его спектакль «Даниэль Штайн, переводчик» был удостоен нескольких наград, включая премию «Золотой софит» за лучший спектакль в драматическом театре. В 2010 году он получил Премию Правительства России и участвовал в специальной программе Европейской Театральной премии. За время своей карьеры с 1993 по 2020 год Бубень поставил более 100 спектаклей.