Антон Багров родился 9 февраля 1984 года в Орле. В 2005 году он завершил обучение в Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства, где учился на курсе Б.Н. Голубицкого и Л.А. Додина. С 2002 по 2005 год Багров работал в Орловском академическом театре имени И.С. Тургенева, участвуя в таких спектаклях, как «Старший сын» (роль Бусыгина), «Каштанка» (Кот Фёдор) и «Доходное место» (Жадов). В 2005 году артист был принят в МДТ — Театр Европы, а в 2006 году продолжил свою карьеру в Театре-фестивале «Балтийский дом». С 2011 года он является частью труппы театра имени Ленсовета, где сыграл в спектаклях «Лодочник» (Иосиф Лауреат), «Королева красоты» (Пато Дули), «Русская матрица» (Воробей) и многих других. Кроме того, Багров участвовал в спектакле театра «Балтийский дом» «Лерка» (Дима) и в постановке «Мой бедный Марат» (Марат) театра «Приют комедианта». Он также был частью совместного проекта театра «Балтийский дом» и театральной компании «Оккупациони Фарцеске» из Флоренции под названием «Верю! Не верю!». В кино Багров снимался в различных проектах, включая «Расписание судеб», «В огонь и в воду», «Улицы разбитых фонарей» и «Ментовские войны». Он также активно сотрудничает с «Радио России».