Гёргюн Биркан начал свою карьеру в Анкарской государственной консерватории, которую окончил в 2001 году. Сразу после этого он присоединился к труппе Государственных театров Турции, где на протяжении многих лет работал как актер и режиссер. Значительная часть его профессиональной деятельности связана с Трабзоном, где он занимал должность художественного руководителя местного Государственного театра. На турецкой сцене Биркан поставил множество спектаклей, отдав предпочтение глубоким психологическим драмам и классическим произведениям. Одной из его наиболее известных работ стала постановка «80 дней вокруг света», которая получила признание критиков за оригинальное визуальное оформление. Кроме театра, Гёргюн также развивал свою карьеру на телевидении, снявшись в нескольких популярных турецких сериалах, среди которых выделяется проект «Мафия не может править миром». Тем не менее, театр остается основным направлением его деятельности. Международное признание Биркан получил благодаря сотрудничеству с российскими театральными площадками, начиная с 2018 года. Его первая работа в России, спектакль «Страдания юного Вертера», была положительно воспринята как зрителями, так и профессиональным сообществом. В 2025 году он представил масштабную премьеру «Легенда о Гильгамеше», в которой объединил древний эпос с современными сценическими технологиями.