Иван Чепура родился 1 июля 1994 года в Санкт-Петербурге. В 2016 году он завершил обучение в Российском государственном институте сценических искусств, где учился на курсе под руководством Сергея Д. Черкасского. В том же году артист был приглашён в Малый драматический театр — Театр Европы, где с 2016 по 2023 год исполнил более двадцати ролей. Среди его работ можно выделить роли Юры в спектакле «Братья и сестры» (режиссёр Лев Додин), Школяра в «Будь здоров, школяр» (режиссёр Яна Тумина), а также Павлюкова в «Жизни и судьбе» (режиссёр Лев Додин) и участие в постановке «Город Эн» (режиссёр Борис Павлович). В 2016 году Чепура стал сооснователем «Городского театра» вместе с однокурсниками. Кроме театральной деятельности, он также активно занимается преподаванием. Иван Чепура является преподавателем кафедры сценической речи в РГИСИ и кафедры актёрского мастерства в Высшем художественно-техническом институте (ВХУТЕИН). Также он работает тренером по технике речи в «Театре на Васильевском».