Леонид Зябкин родился 31 декабря 1983 года в Ленинграде. В 2008 году он завершил обучение на театральном факультете БИЭПП, где учился под руководством народного артиста России Петра Вельяминова. Также в этом же году он окончил музыкальную школу имени Римского-Корсакова, специализируясь на гитаре. Зябкин является автором-исполнителем и дипломантом фестиваля авторской песни «Топос». С 2008 года он выступает в роли гитариста в рок-группе «Где-то рядом». Кроме того, он является одним из основателей Детского театра-студии «На ладони». С 2008 года Зябкин работает артистом в государственном драматическом театре «Комедианты».