Сергей Еликов в 1999 году завершил обучение в Санкт-Петербургской государственной академии театрального искусства, где учился на курсе А. Н. Куницына. В том же году он стал частью труппы МХАТ имени М. Горького. В 1998 году артист получил третью премию на Всероссийском студенческом конкурсе чтецов имени Владимира Яхонтова. В процессе обучения он принимал участие в учебных спектаклях, среди которых были «Моя прекрасная леди» Ф. Лоу и «Ромео и Джульетта» У. Шекспира. В 2001 году Еликов присоединился к труппе Российского государственного академического театра драмы имени А. С. Пушкина, более известного как Александринский театр.